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篇一:最新数学建模竞赛获奖论文
摘要：数学建模就是学习如何把物理的复杂的世界用适当的数学语言描述出来，进而用数学的手段对模型加以分析，然后再用所得结论回归现实，指导实践。数学建模是联系实际与理论的桥梁，是应用数学知识解决实际问题的必经环节。将初等数学知识与生活中的实际问题相结合,介绍了几种常见类型的数学建模方法。
关键词：数学建模；最优化问题；金融与经济；估算与测量
中图分类号：G640文献标志码：A文章编号：1673-291X（2011）18-0321-02
数学来源于生活，又服务于生活。生活中的数学建模涉及到的问题比较贴近我们的实际，具有一定的实践性和趣味性，所需知识以初等数学为主，较容易入手与普及。因此，生活中的数学建模应成为培养大众数学应用意识、提高学生数学思维水平、分析和解决实际问题的能力的重要途径。
本文拟将初等数学知识与生活中的实际问题相结合，对几种常见类型的建模技巧进行简要的分析、归纳。
一、基本概念
数学模型：把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似的表述出来的一种数学结构。它是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。
数学建模：建立数学模型解决实际问题过程的简称。
二、建模步骤
这里所说的建模步骤只是大体上的规范，实际操作中应针对具体问题作具体分析，灵活运用。数学建模的一般步骤如下：
1.准备模型。熟悉实际问题，了解与问题有关的背景知识，明确建模的目的。
2.建立模型。分析处理已有的数据、资料，用*的数学语言找出必要的假设；利用适当的数学工具描述有关变量和元素的关系，并建立相应的数学模型（如方程、不等式、表格、图形、函数、逻辑运算式、数值计算式等）。在建模时，尽量采用简单的数学工具，以使模型得到更广泛的应用与推广。
3.求解模型。利用数学工具，对模型进行求解，包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、性质讨论等。对模型求解的结果进行分析，根据实际问题的性质分析各变量之间的依赖关系，有时需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、控制等。
4.检验模型。把模型分析的结果返回到实际应用中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性，即验证模型的正确性。通常，一个成功的模型不仅能够解释已知现象，而且还能预言一些未知现象。
如果检验结果与实际不符或部分不符，而且求解过程没有错误，那么问题一般出在模型假设上，此时应该修改或补充假设。如果检验结果与实际相符，并满足问题所要求的精度，则认为模型可用，便可进行模型应用与推广。
三、分类讨论
我们将按照初等数学知识在不同生活领域的应用，也即生活中的数学建模的不同题型作分类讨论。本文节选三类问题进行分析：最优化问题；金融与经济；估算与测量。
（一）最优化问题
最优化应用题包括工农业生产、日常生活、试验、销售、投资、比赛等方面，分最值问题、方案优化的选择、试验方案的制定等类型。对于最值问题，一般建立函数模型，利用函数的（最值）知识转化为求函数的最值；而对于方案的优化选择问题是将几种方案进行比较，选择*的方案。
例1（客房的定价问题）：一个星级旅馆有150个客房，每间客房定价相等，*定价为198元，*定价为88元。经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为198元时，住房率为55%；每间客房定价为168元时，住房率为65%；每间客房定价为138元时，住房率为75%每间客房定价为108元时，住房率为85%.欲使旅馆每天收入*，每间客房应如何定价 ？
分析与思考：
据经理提供的数据，客房定价每下降30元，入住率即提高10个百分点。相当于平均每下降1元，入住率提高1/3个百分点。因此，可假设随着房价的下降，住房率呈线性增长。
这样，我们可通过建立函数模型来求解本题。设y表示旅馆一天的总收入，与*价198元相比每间客房降低的房价为x元，可建立数学模型：
y=150×（198-x）×0.55+x
解得，当x=16.5时，y取*值16 471.125元，即*收入对应的住房定价为181.5元。如果为了便于管理，定价为180元/（间天）也是可以的，因为此时总收入y=16 470元，与理论上的*收入之差仅为1.125元。
本题建模的关键在于：根据房价的降幅与住房率的升幅关系，假设两者存在着线性关系。
（二）金融与经济
现代经济生活中，人与金融之间的关系日益密切。金融类的题目注重了针对性、典型性、新颖性和全面性，因而对数学素质方面的要求就更高。
涉及金融与经济的建模题常见的有投资问题、住房贷款问题、分期付款问题、证券问题等。一般的做法是通过数学建模将此类题型转化为初等数学中的常用知识点来解决，如数列问题、幂函数问题、不等式问题等。
例2（购房贷款）：小李年初向银行贷款20万元用于购房。已知购房贷款的年利率优惠为10%，按复利计算。若这笔贷款要求分10次等额归还，每年一次，并从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元（*到1元） ？
分析与思考：
已知贷款数额、贷款利率、归还年限，要求出每年的归还额。本题即可化为求每年的归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限的关系。
不妨先把这个问题作一般化处理。设某人向银行贷款元M0，年利率为α，按复利计算（即本年的利息记入次年的本金生息），并从借款后次年年初开始每次k元等额归还，第n次全部还清。那么，一年后欠款数M1=（1+α）M0-k
两年后欠款数M2=（1+α）M1-k =（1+α）2M0-k[（1+α）+1]
………………
n年后欠款数Mn=（1+α）Mn-1-k=（1+α）M0-
由Mn=0可得k=
这就是每年归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限之间的关系式。
对于上述购房问题，将α=0.1，M0=200 000，n=10代入得
k= ≈32 549.6（元）
故每年应还32 550元。
本题建模的关键在于：将求每年的归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限的关系化为数列计算问题。
（三）估算与测量
估计与测量是数学中最古老的问题。估算与测量类的建模题，其背景包括人们日常生活和生产、科学技术等方面的一些测量、估算、计算。
对于估算与测量的题目，一般要先理解好题意，正确建模，然后通过周密的运算，找出结论。这类题目常常可转化为函数、不等式、数列、二项式定理展开式、三角函数等知识进行处理。
例3（挑选水果问题）：上街买水果，人们总喜欢挑大的，这是否合理呢 ？
分析与思考：
从什么角度来分析此问题呢 ？要判断合理与否，首先要明确判断的标准。一般来说，买水果主要供食用。故下面从可食率这个角度加以分析。
水果种类繁多，形状各异，但总的是近似球形居多。故可假设水果为球形，半径为R，建立一个球的模型来求解此题。
挑选水果的原则是可食率较大。由于同种水果的果肉部分的密度分布均匀，则可食率可以用可食部分与整个水果的体积之比来表示。分以下几种不同类型的水果分别剖析：
1.果皮较厚且核较小的水果，如西瓜、橘子等。同类水果的皮厚度差异不大，假设是均匀的，其厚为d，易得
可食率＝=1-3
2.果皮较厚且有核（或籽集）较大的水果，如南方的白梨瓜等。此类水果计算可食率时，不但要去皮且要去核。设核半径为kR（k为常数，0<k<1），易得
可食率==1-3-k3
上两式中，d为常数，当R越大即水果越大时，可食率越大，越合算。
3.有些水果尽管皮很薄，但考虑卫生与外界污染，必须去皮食用，如葡萄等。此类水果与（1）类似，可知也是越大越合算。
本题建模的关键在于：从可食率入手，利用水果的近似球形，建立一个球的模型，将求可食率的大小转化为求关于水果半径R的单调性。
生活中的数学建模是在实际问题与初等数学知识之间架起一座桥梁，使初等数学知识在不同领域的应用得以生动地展示，再现数学知识的产生、形成和应用的过程。
我们的数学建模应该密切关注生活，将知识综合拓广，使之立意高，情境新，充满时代气息。这对培养思维的灵活性，敏捷性，深刻性，广阔性，创造性是大有益处的。
篇二:最新数学建模竞赛获奖论文
【摘要】 一般来说，数学模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题。它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用。本文从生活问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些。
【关键词】 数学建模 数学模型 几何模型 简化
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）01-109-01
所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
在实际应用中，数学模型可按不同方式分类。若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等。这些模型彼此之间并非*孤立，而是互相渗透，互为工具。
在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可。例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分。接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离。再利用三角函数，便可计算出夹角。但在解决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果。或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜。
几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物。几何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在。若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起。但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的。下面举例分析几何模型的具体应用。
问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则，问走路步长选择多大为合适？
问题分析：此问题若陷入人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值。对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤。由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的。
另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高H（或腿长h）；（2）体重M.为简化问题的研究，做以下假设：a. 假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为h、质量为的均匀杆m；b. 设躯体以匀速v前进。
模型建立：如图1所示，重心升高
δ=h-hcosθ=h-h（1-） ≈（当l/h较小时）。
腿的转动惯量I=，角速度w=，单位时间的步数。所以单位时间行走所需的动能为We=Iw2=.单位时间内使身体重心升高所做的功为Wδ=mgδ=，所以单位时间行走所需的总功W=We+Wδ=+。代入n=，得W=v2（n+·）。于是当v一定时，n=可使W最小。由l=，得l=.求解完毕。
小结：通过研究前面两个问题，我们作以下三点总结：
（1）在上述问题中，我们用几何模型结合物理知识，解决了人体行走中的步长问题。建模时，把人体只看作由躯干和下肢两部分组成，是对人体的*次简化；接着将下肢看作长为h、质量为m的均匀杆，是对人体的第二次简化。两次简化对解决问题起了关键作用，既合理简化了问题，又未因过分简化而使模型失去使用价值。而在第二个问题的模型建立中，将人体直接看成是一个长方体的物体。通过对比可以看出，在解决不同的实际问题时，对同一物体可根据实际需要做出不同的模型假设。数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程，虽然建立模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出入过大，这时就需要返回问题分析这一步骤，对模型原有假设进行修改，使其逐渐向原型靠近，从而得出合理的结论。
（2）此外，还有很多物体运动值得我们研究。例如汽车刹车距离问题，即两车之间保持多长距离能保证司机在发生意外时可以及时刹车。在汽车驾驶中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度。有人根据这一规则，推出了所谓的“2秒准则”，即后车司机若能在前车经过某一标志的2秒钟后到达同一标志，则此时两车之间的距离刚好。这个准则的合理性如何，是否有更好的准则，这些问题都值得研究。如果此准则合理，就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了。
通过分析研究以上问题，我们可以更加深刻地体会到几何模型在现实生活中的重要作用，利用它可以解决许多棘手问题。随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透，和计算机的出现与飞速发展，数学建模将越来越受到人们的重视。几何模型作为数学建模必不可少的工具，也必将有更多的空间施展拳脚。
最新数学建模竞赛获奖论文
