2017年春节|2017年初二数学期中试卷(含答案)

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　　即将进行期中考试了，下面小编整理了2017年初二数学期中试卷(含答案)，希望对大家有帮助!

　　2017年初二数学期中试卷(含答案)

　　一、选择题(每小题3分，共30分)

　　1.在下列各组图形中，是全等的图形是(　　)

　　A. B. C. D.

　　2.下列图形中，对称轴最多的是(　　)

　　A. 等腰三角形 B. 等边三角形

　　C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

　　3.以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是(　　)

　　A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 4，5，6

　　4.下列图形中，不具有稳定性的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　5.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带(　　)去.

　　A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块

　　6.下列命题的逆命题是真命题的是(　　)

　　A. 直角都相等 B. 等边三角形是锐角三角形

　　C. 相等的角是对顶角 D. 全等三角形的对应角相等

　　7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD的长度相等的线段有(　　)

　　A. AD与BD B. BD与BC C. AD与BC D. AD、BD与BC

　　8.如图是中**产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是(　　)

　　A. 180° B. 150° C. 135° D. 120°

　　9.下列条件中 ，不能判定两个直角三角形全等的是(　　)

　　A. 两个锐角对应相等

　　B. 一条边和一个锐角对应相等

　　C. 两条直角边对应相等

　　D. 一条直角边和一条斜边对应相等

　　10.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于(　　)

　　A. 4 B. 5 C. 6 D. 14

　　二、填空题(每小题4分，共32分)

　　11.等腰三角形一边长为1cm，另一边长为2cm，它的周长是　　　　　　cm.

　　12.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B=　　　　　　.

　　13.一个等腰三角形底边上的高、　　　　　　和顶角的　　　　　　互相重合.

　　14.如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是　　　　　　.

　　15.如图，把一副三角板按如图所示放置，已知∠A=45°，∠E=30°，则两条斜边相交所成的钝角∠AOE的度数为　　　　　　度.

　　16.如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△D′O′C′≌△DOC，所以∠D′O′C ′=∠DOC.由这种作图方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依据是　　　　　　(写出全等判定方法的简写).

　　17.如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面积是　　　　　　cm2.

　　18.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　　　　　度.

　　三、解答题(共38分)

　　19.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高线，若AB=10，BC=12，求AD的长.

　　20.先填空，后作图：

　　(1)到一个角的两边距离相等的点在它的　　　　　　上;

　　(2)到线段两端点距离相等的点在它的　　　　　　上;

　　(3)如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置(不写作法，保留作图痕迹).

　　21.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O.

　　(1)图中有多少对全等三角形?请把它们都写出来;

　　(2)任选(1)中的一对全等三角形加以证明.

　　22.已知：等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于P点，求证：∠APE=60°.

　　23.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

　　小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

　　(1) 特殊情况探索结论

　　当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论：AE　　　　　　DB(填“>”，“<”或“=”).

　　(2)特例启发，解答题目

　　解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　　　　　　DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：

　　如图2，过点E作EF‖BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)

　　(3)拓展结论，设计新题

　　在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果).

　　2014-2015学年浙江省温州市泰顺县八年级(上)期中数学试卷

　　参考答案与试题解析

　　一、选择题(每小题3分，共30分)

　　1.在下列各组图形中，是全等的图形是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考点： 全等图形.

　　分析： 根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案.

　　解答： 解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，

　　故选：C.

　　点评： 此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形.

　　2.下列图形中，对称轴最多的是(　　)

　　A. 等腰三角形 B. 等边三角形

　　C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

　　考点： 轴对称的性质.

　　分析： 根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.

　　解答： 解：A、等腰三角形的对称轴有1条;

　　B、等边三角形有3条对称轴;

　　C、直角三角形不一定有对称轴;

　　D、等腰直角三角形的对称轴有1条;

　　综上所述，对称轴最多的是等边三角形.

　　故选：B.

　　点评： 考查了轴对称图形的对称轴的概念，能够正确找到各个图形的对称轴.

　　3.以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是(　　)

　　A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 4，5，6

　　考点： 勾股定理的逆定理.

　　分析： 根据勾股定理的逆定理知，当三角形中三边存在：a2+b2=c2关系时是直角三角形.

　　解答： 解：A、能，因为32+42=52;

　　B、能，因为52+122=132;

　　C、能，因为62+82=102;

　　D、不能，因为42+52=≠62，不符合勾股定理的逆定 理.

　　故选D.

　　点评： 本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形.

　　4.下列图形中，不具有稳定性的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考点： 三角形的稳定性;多边形.菁 优网版权所有

　　分析： 三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定.

　　解答： 解：A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误;

　　B、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确;

　　C、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误;

　　D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误.

　　故选B.

　　点评： 本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键.

　　5.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带(　　)去.

　　A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块

　　考点： 全等三角形的应用.

　　分析： 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证.

　　解答： 解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

　　只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的.

　　故选B.

　　点评： 本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

　　6.下列命题的逆命题是真命题的是(　　)

　　A. 直角都相等 B. 等边三角形是锐角三角形

　　C. 相等的角是对顶角 D. 全等三角形的对应角相等

　　考点： 命题与定理.

　　分析： 先分别写出四个命题的逆命题，然后根据直角的定义、等边三角形的判定、对顶角的性质和全等三角形的判定分别进行判断.

　　解答： 解：A、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，此逆命题为假命题，所以A选项错误;

　　B、等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，此逆命题为假命题，所以B选项错误;

　　C、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，此逆命题为真命题，所以C选项正确;

　　D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角 形全等，此逆命题为假命题，所以D选项错误.

　　故选C.

　　点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式;有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.

　　7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD的长度相等的线段有(　　)

　　A. AD与BD B. BD与BC C. AD与BC D. AD、BD与BC

　　考点： 直角三角形斜边上的中线;含30度角的直角三角形.菁优网 版权所有

　　分析： 根据直角三角形的性质可得CD=BD=AD，再结合∠A=30°，可得BC= AB，可得结论.

　　解答： 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，

　　∴CD=BC=BD=AD= AB，

　　故选D.

　　点评： 本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

　　8.如图是中**产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是(　　)

　　A. 180° B. 150° C. 135° D. 120°

　　考点： 圆心角、弧、弦的关系.

　　专题： 压轴题.

　　分析： 根据点A、B、C、D、E五等分圆可求出每条弧的度数，再根据圆周角定理即可得出答案.

　　解答： 解：∵点A、B、C、D、E五等分圆，

　　∴ = = = = = =72°，

　　∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，

　　∵∠ADB= = ×72°=36°，

　　∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×36°=180°.

　　故选A.

　　点评： 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，能根据题意得出每条弧的度数是解答此题的关键.

　　9.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(　　)

　　A. 两个锐角对应相等

　　B. 一条边和一个锐角对应相等

　　C. 两条直角边对应相等

　　D. 一条直角边和一条斜边对应相等

　　考点： 直角三角形全等的判定.

　　分析： 直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证.

　　解答： 解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意;

　　B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意;

　　C、符合判定ASA，故本选项不符合题意;

　　D、符合判定HL，故本选项不符合题意.

　　故选A.

　　点评： 本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

　　10.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于(　　)

　　A. 4 B. 5 C. 6 D. 14

　　考点： 全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质.

　　分析： 如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=1+3=4.

　　解答： 解：∵在△CDE和△ABC中，

　　，

　　∴△CDE≌△ABC(AAS)，

　　∴AB=CD，BC=DE，

　　∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，

　　同理可证FG2+LK2=HL2=1，

　　∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4.

　　故选A.

　　点评： 本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+C D2=CE2是解题的关键.

　　二、填空题(每小题4分，共32分)

　　11.等腰三角形一边长为1cm，另一边长为2cm，它的周长是　5　cm.

　　考点： 等腰三角形的性质;三角形三边关系.

　　分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为1cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

　　解答： 解：分两种情况：

　　当腰为1cm时，1+1=2，所以不能构成三角形;

　　当腰为2cm时，1+2>2，所以能构成三角形，周长是：1+2+2=5(cm).

　　故答案为：5.

　　点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

　　12.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B=　20°　.

　　考点： 直角三角形的性质.

　　分析： 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

　　解答： 解：∵∠C=Rt∠，∠A=70°，

　　∴∠B=90°-∠A=90°-70°=20°.

　　故答案为：20°.

　　点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键.

　　13.一个等腰三角形底边上的高、　底边上的中线　和顶角的　平分线　互相重合.

　　考点： 等腰三角形的性质.

　　分析： 根据等腰三角形三线合一的性质即可求解.

　　解答： 解：一个等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线互相重合.

　　故答案为底边上的中线，

　　点评： 本题考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

　　14.如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是　∠ACB=∠DBC(或AB=CD)　.

　　考点： 全等三角形的判定.

　　专题： 开放型.

　　分析： 要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可.

　　解答： 解：∵AC=BD，BC=BC，

　　∴可添加∠ACB=∠DBC或AB=CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB.

　　故答案为：∠ACB=∠DBC(或AB=CD).

　　点评： 本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.

　　15.如图，把一副三角板按如图所示放置，已知∠A=45°，∠E=30°，则两条斜边相交所成的钝角∠AOE的度数为　165　度.

　　考点： 三角形的外角性质.

　　专题： 几何图形问题.

　　分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，先求出∠EBO的度数，然后再求∠AOE.

　　解答： 解：∵∠A=45°，∠E=30° ，

　　∴∠EBO=∠A+∠C=45°+90°=135°，

　　∠AOE=∠EBO+∠E=135°+30°=165°.

　　故答案为：165.

　　点评： 本题主要考查了三角形的外角性质，是基础题，需要熟练掌握.

　　16.如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△D′O′C′≌△DOC，所以∠D′O′C′=∠DOC.由这种作图方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依据是　SSS　(写出全等判定方法的简写).

　　考点： 全等三角形的判定;作图—基本作图.

　　专题： 常规题型.

　　分析： 利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，于是可利用“SSS”判断△D′O′C′≌△DOC，然后根据全等三角形的性质得到角相等.

　　解答： 解：根据作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，

　　所以利用“SSS”可判断为△D′O′C′≌△DOC，

　　所以∠D′O′C′=∠DOC.

　　故答案为“SSS”.

　　点评： 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

　　17.如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面积是　30　cm2.

　　考点： 角平分线的性质.

　　专题：

　　分析： 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AC的距离等于5，从而求得△APC的面积.

　　解答： 解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，PB=5cm，

　　∴点P到AC的距离等于5cm，

　　∵AC=12cm，∴△APC的面积=12×5÷2=30cm2，

　　故答案为30.

　　点评： 本题主要考查了角平分线的性质定理，难度适中.

　　18.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　15　度.

　　考点： 等边三角形的性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质.

　　专题： 几何图形问题.

　　分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数.

　　解答： 解：∵△ABC是等边三角形，

　　∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，

　　∵CG=CD，

　　∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，

　　∵DF=DE，

　　∴∠E=15°.

　　故答案为：15.

　　点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中.

　　三、解答题(共38分)

　　19.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高线，若AB=10，BC=12，求AD的长.

　　考点： 勾股定理;等腰三角形的性质.

　　分析： 先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长即可.

　　解答： 解：∵AB=AC，AD⊥BC，

　　∴BD=DC=6.

　　由勾股定理得，AD= = =8.

　　点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

　　20.先填空，后作图：

　　(1)到一个角的两边距离相等的点在它的　角平分线　上;

　　(2)到线段两端点距离相等的点在它的　垂直平分线(或中垂线)　上;

　　(3)如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置(不写作法，保留作图痕迹).

　　考点： 作图—应用与设计作图;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.

　　分析： (1)根据角平分线的性质填空即可;

　　(2)根据线段垂直平分线定理填空即可;

　　(3)作 出∠ABC的角平分线BE，与线段CD的垂直平分线有一交点就是菜市场的位置.

　　解答： 解：(1)角平分线;

　　(2)垂直平分线(或中垂线);

　　(3)如图所示：点P就是菜市场的位置.

　　点评： 此题主要考查了作图与应用作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法.

　　21.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O.

　　(1)图中有多少对全等三角形?请把它们都写出来;

　　(2)任选(1)中的一对全等三角形加以证明.

　　考点： 全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.

　　专题： 证明题.

　　分析： 根据全等三角形的判定方法我们可以得到图**有三对全等三角形分别为：△AOB≌△AOD，

　　△COB≌△COD，△ABC≌△ADC.

　　解答： (1)解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC;(3分)

　　(2)证明△ABC≌△ADC.

　　证明：∵AC垂直平分BD，

　　∴AB=AD，CB=CD(中垂线的性质)，

　　又∵AC=AC，

　　∴△ABC≌△ADC.(6分)

　　点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

　　注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

　　22.已知：等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于P点，求证：∠APE=60°.

　　考点： 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

　　专题： 证明题.

　　分析： 先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，故可得出∠BAD=∠EBC，再由三角形外角的性质即可得出结论.

　　解答： 证明：∵△ABC是等边三角形，

　　∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC.

　　在△ABD与△BCE中，

　　，

　　∴△ABD≌△BCE(SAS)，

　　∴∠BAD=∠EBC，

　　∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°.

　　∵∠APE是△ABP的外角，

　　∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°.

　　点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键.

　　23.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

　　小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

　　(1)特殊情况探索结论

　　当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论：AE　=　DB(填“>”，“<”或“=”).

　　(2)特例启发，解答题目

　　解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　=　DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：

　　如图2，过点E作EF‖BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)

　　(3)拓展结论，设计新题

　　在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果).

　　考点： 全等三角形的判定与性质;三角形内角和定理;等边三角形的判 定与性质.

　　专题： 计算题;证明题;压轴题;分类讨论.

　　分析： (1)根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案;

　　(2)作EF‖BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案;

　　(3)分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可.

　　解答： 解：(1)答案为：=.

　　(2)答案为：=.

　　证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

　　∵EF‖BC，

　　∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

　　∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，

　　∴AE=AF=EF，

　　∴AB-AE=AC-AF，

　　即BE=CF，

　　∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

　　∵ED=EC，

　　∴∠EDB=∠ECB，

　　∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

　　∴∠BED=∠FCE，

　　在△DBE和△EFC中

　　，

　　∴△DBE≌△EFC(SAS)，

　　∴DB=EF，

　　∴AE=BD.

　　(3)解：分为四种情况：

　　如图1：

　　∵AB=AC=1，AE=2，

　　∴B是AE的中点，

　　∵△ABC是等边三角形，

　　∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)，

　　∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

　　∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

　　∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，

　　即△DEB是直角三角形.

　　∴BD=2BE=2(30°所对的直角边等于斜边的一半)，

　　即CD=1+2=3.

　　如图2，

　　过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

　　∵等边三角形ABC，EC=ED，

　　∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN‖EM，

　　∴△BAN∽△BEM，

　　∴ = ，

　　∵△ABC边长是1，AE=2，

　　∴ = ，

　　∴MN=1，

　　∴CM=MN-CN=1- = ，

　　∴CD=2CM=1;

　　如图3，∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°)，而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

　　∴此时不存在EC=ED;

　　如图4

　　∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，

　　又∵∠ABC=∠ACB=60°，

　　∴∠ECD>∠EDC，

　　即此时ED≠EC，

　　∴此时情况不存在，

　　答：CD的长是3或1.

　　点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.

2017年初二数学期中试卷(含答案)

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